数学

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2015年曲靖市教育系统公开招聘教师考试

专业知识 教法技能 大纲

数学（高中教育岗位）

曲 靖 市 教 育 局

一、考试性质

曲靖市教育系统公开招聘教师考试属选拔性考试。教育行政部门根据教育事业改革和发展的需要，考查、考核考生从事教师工作的专业知识、教育教学能力，按招考录用计划择优录用。因此，考试具有较高的信度、效度、区分度和一定的难度。

二、考试形式与试卷结构

考试形式：闭卷，笔试。“专业知识”满分100分，考试用时100分钟；“教法技能”满分50分，考试用时50分钟。二者合卷满分共150分，考试限定用时150分钟。

试题类型：“专业知识”的题型为单项选择题、填空题、解答题；“教法技能”的题型为单项选择题、填空题、简答与分析题、教材分析与教学设计题。

三、考试内容

专业知识

1．平面向量：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移。

2．集合、简易逻辑：集合，子集，补集，交集、并集；逻辑联结词，四种命题，充分条件和必要条件。

3．函数：映射，函数，函数的单调性、奇偶性、极值与最大（小）值；复合函数和反函数，互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数；对数，对数的运算性质，对数函数；幂函数；函数的应用。

4．不等式：不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值的不等式。

5．三角函数：角的概念的推广，弧度制；任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系，正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切,倍角的正弦、余弦、正切；三角恒等变形；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数 的图象；正弦定理、余弦定理，斜三角形的解法。

6．数列：数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和的公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和的公式。

7．排列、组合、二项式定理：分类计数原理与分步计数原理；排列、排列数公式；组合、组合数的两个性质；二项式定理，二项展开式的性质。

8．极限与连续：数学归纳法，数学归纳法应用；数列的极限与无穷大量；极限与连续，函数的极限，极限的四则运算；函数的连续性。

9．单变量微分学

（1）导数与微分，导数的定义及几何意义，简单函数的导数，求导法则，复合函数求导法，微分及其运算，隐函数及参数方程所表示的函数的求导法，高阶导数与高阶微分。

（2）微分学基本定理及导数的应用：中值定理，函数的单调性、凸性与极值、最大值、最小值。

10．单变量积分学

（1）不定积分：不定积分的概念及运算法则，不定积分的计算。

（2）定积分：定积分的概念，定积分存在的条件，定积分的性质，定积分的计算。

（3）定积分应用和近似计算：平面图形的面积，体积，平均值、功。

11．级数

函数项级数，幂级数，函数的幂级数展开。

12．多变量微积分学

（1）多变量的微分学，偏导数和全微分，偏导数和全微分的概念，复合函数偏导数的链式法则，由方程（组）所确定的函数的求导法，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。

（2）多变量积分学：二重积分、三重积分的定义和性质，重积分的计算及应用，二重积分的计算、三重积分的计算。

13．数系的扩张与复数的引入：复数的基本概念及复数相等的充要条件,复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的四则运算、复数代数形式的加减运算的几何意义。

14．多项式

数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解。

15．行列式

排列，n级行列式，n级行列式的性质，行列式的计算，应用行列式解线性方程组（克拉默法则）。

16．矩阵

矩阵的概念，矩阵的秩，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的转置。

17．直线、平面、简单几何体：平面及其基本性质，平面图形,直观图的画法；平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离；直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理；平行平面的判定与性质，平行平面间的距离；二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质；多面体，正多面体，棱柱，棱锥，球。

18．解析几何

（1）平面解析几何。

①直线和圆的方程：直线的倾斜角和斜率，直线方程的两点式、点斜式、截距式，直线方程的一般式；两条直线平行与垂直的条件；两条直线的交角，点到直线的距离；用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题；曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程；圆的标准方程和一般方程、圆的参数方程。

②圆锥曲线方程：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程；双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质；抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

（2）空间解析几何。

①向量代数：向量及其线性运算，仿射坐标系及直角坐标等，向量的内积，向量的外积，向量的混合积。

②空间的平面和直线：仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置，直角坐标系中平面的方程，点到平面的距离，直线的方程，直线、平面间的相关位置，点、直线和平面之间的度量关系。

③常见曲面：球面和旋转面，柱面和锥面，二次曲面。

19．概率论与数理统计

（1）随机事件与概率。

随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法，概率的性质，条件概率，独立性。随机事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率。

（2）随机变量及其分布。

随机变量及其分布，随机变量的数学期望，随机变量的方差与标准差；抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归；常用离散分布，常用连续分布。

（3）统计量及其分布。

总体与样本，样本数据的整理与显示，统计量及其分布。

教法技能（数学教学）

1．《普通高中课程方案》

普通高中教育的培养目标；普通高中课程结构；普通高中课程内容选择的原则。

2．普通高中《数学课程标准》

普通高中数学课程的性质；普通高中数学课程的基本理念；普通高中数学课程框架；普通高中数学课程目标。

3．明确教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者

以学生为本，指导学生合理选择课程、制定教学和学习计划；帮助学生打好基础，发展能力；注重联系实际，提高对数学整体的认识；注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力；关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成；改善教与学的方式，使学生主动地学习；恰当应用现代信息技术，提高教学质量；正确评价学生的数学基础知识和基本技能；实施促进学生发展的多元评价；根据学生的不同选择进行评价。

4．数学教学方法的启发式原则

传统教学方法——讲解法、谈论法、练习法、讲练结合法、教具演示法等的讲解和运用，教学方法的改革与创新。

5．中学数学教学原则

抽象与具体相结合的原则；理论与实际相结合的原则；严谨性与量力性相结合的原则；数与形相结合的原则；传授知识与培养能力相结合的原则；巩固与发展相结合的原则。

6．中学数学的逻辑基础

数学概论；数学命题；逻辑思维的基本规律；数学推理；数学证明。

7．数学基础知识的教学与基本能力的培养

数学概念的教学；数学命题的教学；数学思想方法的教学；解题的教学；能力的培养。

8．数学教学的基本功

组织教材的基本功；数学解题的基本功；运用数学手段与方法的基本功；组织教学的基本功；中学数学教学评价、命题的基本功；参予数学教学研究的基本功。

9．制定高中数学教学中的学期、单元、章节教学计划；依据教学内容和学生实际备课、上课、辅导、批改作业、学生成绩考核，进行教学设计，编写教案、学案和说课案；收集教学过程中的反馈信息，指导、改进、调整教学。

四、考试要求

专业知识

1．知识要求

知识是指本大纲中所列考试内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法。对知识的要求要达到（1）理解和掌握、（2）灵活和综合运用、（3）全面系统把握知识的相互联系和规律三个层次。对于考试内容中所列高中数学知识要求达到（1）、（2）、（3）层次；大学数学知识要求达到（1）、（2）层次要求。

（1）理解和掌握：要求对所列考试内容有较深刻的理论认识，能够解释、举例或变形、判断，并能利用知识解决有关问题。

（2）灵活和综合运用：要求系统掌握考试内容的内在联系，能运用所列内容分析和解决较为复杂的或综合性的问题。

（3）全面、系统把握知识的相互联系和规律：要求清晰理解考试内容中初等数学、高等数学的知识间的相互联系、规律，能用较高的观点分析中学数学知识中的有关问题，阐述其原理和规律。

2．能力要求

能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。

（1）思维能力：能深刻地理解问题和资料，并进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；能熟练地应用类比、归纳进行推理，能合乎逻辑地、准确地进行表述。

（2）运算能力：深刻理解法则、公式的原理和推理依据、过程，运用法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；根据要求对数据进行估计和近似计算；对计算结果的正误能够进行正确判断和解释。

（3）空间想象能力：具备完整的空间观念，根据条件作出图形，根据图形想象出直观图象；正确分析图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

（4）实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能深刻理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行科学、合理、系统的归纳、整理和分类，熟练地将实际问题抽象成数学问题，建立正确的数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用准确的数学语言表述和说明。

（5）创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。

3．数学修养要求

数学修养指对数学本质的理解及应用数学思想方法、知识解决学习、工作、生活中的问题的意识。

（1）要求考生具有一定的数学视野、认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义。

（2）深刻理解数学的高度的抽象性、严谨的逻辑性、广泛的运用性等主要特征，并能运用到学习及教学活动之中。

（3）通过系统的数学知识的学习，理解数学教学的实用功能、育人功能和文化功能。

4．数学考试要求

充分体现在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控试题的综合程度，坚持多角度、多层次考查的原则，努力实现考察综合素养的要求。

教法技能（数学教学）

1．了解《普通高中课程方案》的主要内容，明确数学学科在高中教育教学中的地位和作用。

2．熟悉《普通高中数学课程标准》的主要内容，明确其各部分内容间的关系及各部分内容的地位和作用。

3．基本掌握高中数学教学的基本原则和基本方法。

4．能够依据教学内容及《普通高中数学课程标准的要求》，选择适当的教学方法进行课堂教学设计，编写教案和说课案，进行实际教学。

5．依据课程标准、教学内容和要求，正确、科学地评价学生学业成绩，指导学生学习，促进学生发展。

五、题型示例

专业知识

一、单项选择题

1．函数f(x)=4sinx-3cosx的最大值为 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．7

2.设变量x、y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为 （ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

3．已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为8，则两圆的圆心距等于 （ ）

A．2 B．√3C．3 D．4

4.若函数，在x=0处连续，则A等于 （ ）

A．1 B．e C．√e D．e²

5．曲面x²-4y²=8z是 （ ）

A．双曲抛物面 B．椭圆抛物面 C．双曲柱面 D．锥面

6．若函数f(x)在x=x₀处可导，则等于 （ ）

7．计算 （ ）

A．2 B．1 C．1/2 D．0

二、填空题

8．设s_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项的和，且s₁、s₂、s₄成等比数例，则a₂/a₁ =．

9．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行的直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．

在上面的结论中，正确的是．（写出所有正确结论的编号）

10．函数f(x)=cosx在R上展开成幂级数为：

cosx=．

11．若，则y^、=．

12．交换二重积分的积分次序后，I=．

三、解答题

13．若，求它的逆矩阵A^-1．

14．已知：

15．在一块倾斜放置的矩形木板上钉着一个形如“等腰三角形”的九行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第一行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙……第9行10个铁钉之间有9个空隙（如图所示）．一个玻璃球通过第一行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后玻璃球按类似方法继续往下滚动，落入第9行的某一个空隙后，最后掉入木板下方的相应球槽内．玻璃球落入不同球槽得到不同的分数ζ在图中给出，求Eζ（结果保留两位有效数字）．

16．计算，其中D是由x轴、y轴及直线x+y=2所围成的区域．

17．设双曲线 与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B．

（1）求a的取值范围和双曲线C的离心率e的取值范围；

（2）设直线L与y轴的交点为P，且，求a的值．

18．用ε—δ方法证明：．

教法技能（数学教学）

一、单项选择题

1．“无限小数叫做无理数”这个定义的错误是 ( )

A．定义项和被定义项的外延不相等 B．定义循环

C．定义不简明 D．定义项含糊不清

2 “等腰三角形底角相等”的逆命题正确的是 ( )

A．底角不相等的三角形不是等腰三角形

B．底角相等的三角形是等腰三角形

C．有两个角相等的三角形是等腰三角形

D．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

3．下列说法正确的是 ( )

A．等腰三角形与直角三角形这两个概念间的关系是属种关系

B．矛盾律、排中律在数学论证中是反证法的逻辑基础

C．是因式分解

D．平角是一条直线

4．进行“分式基本性质”的教学时，先复习分数的基本性质后，再对照着讲分式的基本性质.这个导入实例，采用的导入方法是 ( )

A．创设情景导入法 B．悬念导入法 C．类比导入法 D．发现导入法

二、填空题

5．在一门科学理论中，______________________的思维过程，叫做逻辑证明，也称论证．

6．定义“如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列”中，本质属性是，

种差是，

与名称最邻近的属概念是.

7．对什么是教学方法有不同的提法，但基本点是一致的，其共同点体现在.

8.《高中数学课程标准》的基本理念是要突出数学课程的基础性、_________、__________、___________.

三、简答与分析题

9．简答：数学概念教学的主要目标.

10．请用函数思想解释二次函数y=ax²+bx+c与二次方程ax²+bx+c=0和二次不等式ax²+bx+c＞0之间的关系（其中a，b，c常数，a≠0）．

四、教学设计题

11．以下列命题作为高一解题教学的一个课题：

“若p：-2＜a＜0, 0＜b＜1，q: 关于x的方程x²+ax+b=0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？并说明理由．”

请你根据解题教学的基本要求：

(1)拟定教学目标；

(2)分析重点、难点；

(3)设计出主要教学流程或教学要点．

参考书目：

1．《普通高中课程方案（实验）》，中华人民共和国教育部制订，人民教育出版社出版。

2．《普通高中数学课程标准（实验）》，中华人民共和国教育部制订，人民教育出版社出版。

3．现行普通高中数学教科书。

4．高等师范院校使用的《数学分析》、《解析几何》、《高等代数》、《概率论与数理统计》等相关教材。